Considere a integral:
$$\int \left ( \frac{1}{1+x^2} \right )^2$$
Para resolvê-la, utilizamos uma substiruição trigonométrica, fazendo:
\begin{matrix}
x&=&\tan(u)\\
dx&=&\sec^2(u)du\\
\end{matrix}
Assim temos:
\begin{equation}
\int \frac{1}{\left (1+\tan^2(u)\right)^2} \sec^2(u)du
\end{equation}
Usando a identidade trigonométrica:
\begin{equation}
1+\tan^2(u)=\sec^2(u)
\end{equation}
Substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\int \frac{1}{\left (\sec^2(u)\right )^2}\cdot \sec^2 (u)du\\
\int \frac{1}{\left (\sec^2(u)\right )}du\\
\end{matrix}
\end{equation}
Mas:
\begin{equation}
\frac{1}{\sec^2(u)}=\cos^2(u)
\end{equation}
Assim:
$$\int \cos^2(u)du$$
Escrevemos $\cos^2(u)$ como $\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \cos(2u)+1 \right )$:
\begin{equation}
\frac{1}{2} \int1+\cos(2u)du
\end{equation}
Agora já podemos integrar. Lembrando que $\displaystyle \int \cos (nu)=\frac{1}{n} \text{sen}(nu)+C$, assim:
\begin{equation} \begin{matrix}
I=\frac{1}{2}\left [u+\frac{1}{2}\text{sen}(2u)\right ]+C\\
I=\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}\text{sen}(2u)+C\\
\end{matrix}
\end{equation}
Usamos a identidade do arco duplo:
$$\text{sen}(2u)=2\text{sen}(u)\cos(u)$$
De modo que:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{2}u+1\frac{1}{4}\left ( 2\text{sen}(u)\cos(u)\right )+C\\
I=\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}\text{sen}(u)\cos(u)+C\\
\end{matrix}
\end{equation}
Agora, reentroduzimos a variável $x$. Lembrando que $x=\tan(u)$, assim $u=\arctan(x)$. Mas, como a tangente é igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente, temos as relações:
$$\tan(u)=\frac{x}{1}$$
Assim, o cateto oposto é igual a $x$ e o cateto adjacente é igual a $1$, de modo que a hipotenusa do triângulo retângulo equivale a:
$$H=\sqrt{x^2+1}$$Destes resultados, segue que:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\text{sen}(u)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\
\text{e}\\
\cos(u)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\
\end{matrix}
\end{equation}
Substituindo as relações obtidas em $(7)$ na relação $(8)$, obtemos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{2}\arctan (x)+\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+C\\
I=\frac{1}{2}\arctan (x)+\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x^2+1}+C\\
I=\frac{1}{2} \left( \arctan (x)+\frac{x}{x^2+1}\right ) +C\\
\end{matrix}
\end{equation}
Veja mais:
Integral de $\cos^2(x)$
Integral por Substituição Trigonométrica
Identidade Trigonométrica do Arco Duplo