Esta é uma elegante construção do pentágono regular pelos métodos euclidianos, elaborado por Yoshifusa Hirano. A construção foi incluída num manuscrito Sanpo Jyojutu Kaigi, por Chorin Kawakita $(1840-1919)$ que escreveu:
"Hirano descobriu um método de construção do pentágono regular utilizando régua e compasso apenas. Descrevo esse método aqui por ser original, elementar e excelente."A construção de Hirano é ilustrada pela imagem abaixo:
Construção Geométrica
$1)$ Descreva uma circunferência $C_1$ de centro $O$ com diâmetros horizontal $FG$ e vertical $DH$.
$2)$ Trace as mediatrizes dos segmentos $\overline{OF}$ e $\overline{OG}$ e marque-as como $P$ e $Q$, respectivamente.
$3)$ Com centro em $P$, descreva a circunferência $C_2$ de diâmetro $OF$ e com centro em $Q$ descreva a circunferência $C_3$ de diâmetro $OG$.
$4)$ Trace o segmento $\overline{HQ}$ e marque como $T$ a intersecção com a circunferência $C_3$.
$5)$ Com centro em $H$, descreva a circunferência $C_4$ de raio $HT$ e marque como $A$ e $B$ as intersecções com a circunferência $C_1$.
$6)$ O segmento $\overline{AB}$ fornece o comprimento dos lados do pentágono regular inscrito na circunferência $C_1$.
Demonstração
Consideremos a figura abaixo:
Seja $C_1$ a circunferência com raio unitário. Do triângulo $HOQ$, temos que:
\begin{equation}\begin{matrix}
\overline{HQ}^2=\overline{OH}^2+\overline{OQ}^2\\
\overline{HQ}^2=1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\\
\overline{HQ} ^2=1+\frac{1}{4}\\
\overline{HQ} ^2=\frac{5}{4}\\
\overline{HQ} =\frac{\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}
\end{equation}
O segmento $\overline{QT}$ é o raio da circunferência $C_3$ e mede $1/2$. Assim:
\begin{equation}\begin{matrix}
\overline{HT}=\overline{HQ}-\overline{QT}\\
\overline{HT}=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
\end{matrix}
\end{equation}
O triângulo $HBD$ é retângulo em $B$, de modo que:
\begin{equation}
\text{sen}(H\hat{D}B)=\frac{HB}{DH}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}
\end{equation}
O ângulo cujo seno vale $\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ é $18°$, logo o ângulo $H\hat{D}B=18°$. Por simetria, o ângulo $H\hat{D}A=18°$ e por conseguinte $A\hat{D}B=H\hat{O}B=36°$. E daqui obtemos que $A\hat{O}B=72°$, que é o ângulo central do pentágono.
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