Nesta série de postagem, apresentaremos um estudo sobre os Pontos de Brocard, envolvendo definições, teoremas, corolários, demonstrações e construções geométricas. Resolvemos dividi-la para que não fique cansativo para o leitor acompanhar.
Por:
Kleber Kilhian
Paulo Sérgio C. Lino
1 – Introdução
Pierre René Jean Baptiste Henri Brocard nasceu a 12 de maio de 1845 em Vignot, França e morreu em 16 de janeiro de 1922 em Bar-le-Duc, França.
Brocard passou a maior parte de sua vida estudando meteorologia como um oficial da marinha francesa, mas suas contribuições notáveis são na matemática.
Suas descobertas mais conhecidas talvez tenham sido os pontos de Brocard, o triângulo de Brocard e o círculo de Brocard. Neste artigo, vamos nos limitar aos pontos de Brocard.
Durante uma reunião da Associação Francesa para Avanço da Ciência, Brocard apresentou um artigo intitulado "Etudes d’un nouveau cercle Du plan Du triangle", seu primeiro trabalho sobre o assunto.
2 – Definições
Os Pontos de Brocard são pontos especiais dentro de um triângulo e podem ser definidos como:
Definição 1: Em um triângulo de vértices $A_1 A_2 A_3$, (rotulados no sentido anti-horário) denotado por $\left ( T \right )=A_1 A_2 A_3$, existe um ponto único $\Omega$ tal que os ângulos $\angle \Omega A_1 A_2=\angle \Omega A_2 A_3=\angle \Omega A_3 A_1$ são iguais. O ponto $\Omega$ é chamado de 1º Ponto de Brocard.
Definição 2: Num mesmo triângulo de vértices $A_1 A_2 A_3$ (rotulados no sentido anti-horário) denotado por $\left ( T^\prime \right )=A_1 A_2 A_3$, existe um ponto único $\Omega^ \prime$ tal que os ângulos $\angle \Omega^ \prime A_1 A_3=\angle \Omega^ \prime A_3 A_2=\angle \Omega^ \prime A_2 A_1$ são iguais. O ponto $\Omega^ \prime$ é chamado de 2º Ponto de Brocard.
[Figura 1]
Note que os ângulos $\omega = \angle \Omega A_1 A_2=\angle \Omega A_2 A_3=\angle \Omega A_3 A_1$ e $\omega^\prime = \angle \Omega^\prime A_1 A_2=\angle \Omega^\prime A_2 A_3=\angle \Omega^\prime A_3 A_1$ são iguais. Este ângulo em comum é chamado de Ângulo de Brocard.
Os dois Pontos de Brocard estão intimamente relacionados entre si. Na verdade, a única diferença entre $\Omega$ e $\Omega^\prime$ é que o segundo ponto de Brocard é obtido de $\left ( T \right )$ por uma mudança de orientação. Os Pontos de Brocard são conjugados isogonais um do outro.
3 – Construção Geométrica
Uma construção elegante do 1º Ponto de Brocard pode ser descrita como: Num triângulo $\left(T\right)=A_1 A_2 A_3$ com lados opostos $a_1, a_2,a_3$ descreva uma circunferência que passe pelos pontos $A_1$ e $A_2$ que seja tangente ao lado $a_1$. Da mesma forma, descreva uma circunferência que passe por $A_2$ e $A_3$ que seja tangente ao lado $a_2$. Descreva uma terceira circunferência que passe por $A_3$ e $A_1$ que seja tangente ao lado $a_3$. A intersecção dessas três circunferências gera o 1º Ponto de Brocard denotado por $\Omega$.
Sua construção geométrica com régua e compasso por ser feita como se segue:
1) Construa um triângulo $\left(T\right)=A_1 A_2 A_3$ qualquer.
[Figura 2]
2) Descreva uma circunferência $C_1$ de centro $O_1$ que passe pelos pontos $A_1$ e $A_2$ e que seja tangente ao lado $a_1$ em $A_2$. Para isso, trace um segmento ortogonal ao lado $a_1$ por $A_2$. Em seguida, trace a mediatriz do lado $a_3$. A intersecção desses dois segmentos é o centro $O_1$ da circunferência $C_1$ de raio $O_1 A_1=O_1 A_2$.
[Figura 3]
3) Analogamente, construímos a circunferência $C_2$ de centro $O_2$ que passa pelos pontos $A_2$ e $A_3$, tangente ao lado $a_2$ em $A_3$ . Trace um segmento ortogonal ao lado $a_2$ por $A_3$ e trace a mediatriz do lado $a_1$, determinando o centro $O_2$ da circunferência $C_2$.
[Figura 4]
4) Da mesma forma construímos a circunferência $C_3$ de centro $O_3$ que passa pelos pontos $A_1$ e $A_3$, tangente ao lado $a_3$ por $A_1$. Trace um segmento ortogonal ao lado $a_3$ por $A_1$ e trace a mediatriz do lado $a_2$, determinando o centro $O_3$ da circunferência $C_3$.
[Figura 5]
5) O ponto triplo dado pela intersecção das três circunferências é o 1º Ponto de Brocard, designado por $\Omega$. Unindo o ponto $\Omega$ a cada um dos vértices do triângulo, determinamos o ângulo $\omega$, tal que:
$$\omega = \angle \Omega A_1 A_2=\angle \Omega A_2 A_3=\angle \Omega A_3 A_1$$
[Figura 6]
Para a construção do 2º Ponto de Brocard, basta seguir o mesmo procedimento descrito acima tomando a orientação inversa. Unindo o ponto $\Omega^\prime$ a cada vértice do triângulo, determinamos o ângulo $\omega^\prime$, tal que:
$$\omega^\prime = \angle \Omega^\prime A_1 A_2=\angle \Omega^\prime A_2 A_3=\angle \Omega^\prime A_3 A_1$$
[Figura 7]
Assim, temos que $\omega=\omega^\prime$.
Nas próximas postagens, apresentaremos alguns teoremas e suas demonstrações.
Veja mais:
Os Pontos de Brocard (Parte 2)
Os Pontos de Brocard (Parte 3)
Pontos Notáveis de um Triângulo
Teorema do Ângulo Inscrito