Em $1889$, o matemático Giuseppe Peano $(1858-1932)$ resumiu as características estruturais nos números naturais em uma lista de axiomas enunciados em lógica simbólica. Esta última era uma linguagem de primeira ordem (ou seja, uma linguagem na qual aparecem somente predicados aplicados aos objetos da linguagem, mas não predicados aplicados aos predicados e nem proposições), com identidade (cujo símbolo é $=$) fica definida por duas propriedades:
$P1)$ $a=a; \: a=b \rightarrow b=a; \: (a=b \: \text{e}\: b=c) \rightarrow a=c$
$P2)$ $a_1=a_2 \rightarrow \varphi (a_1) = \varphi (a_2)$
Isso significa que: $P_1)$ é uma relação reflexiva, simétrica e transitiva; e $P_2)$ quando dois objetos são idênticos, sempre que um deles possuir uma propriedade de $\varphi$, o outro também possuirá.
O conceito central da aritmética de Peano é o "sucessor": todo número natural $x$ tem um sucessor. Esse sucessor não pode ser escrito como $x+1$, pois a adição não foi definida. Peano indica então como $s(x)$ (sucessor de $x$) o número que se segue a $x$ e especifica que a função $s$ está definida para todo número natural $x$. Ele formaliza assim uma propriedade importante dos números naturais (pode-se sempre contar um a mais) e que, depois de especificada sua estrutura particular, servirá para estabelecer "tacitamente" que existem infinitos números.
As constantes da linguagem da aritmética de Peano são as seguintes: $0$ (o número zero); $s$ (a função "sucessor"), $+$ e $\times$ (as operações de adição e multiplicação). O significado dessas constantes fica definido pelos seguintes axiomas:
$A_1) \forall x \left(\neg s(x)=0\right)$
O zero não é o sucessor de nenhum número natural.
$A_2)$ $\forall x \forall y \left(s(x)=s(y)\rightarrow x=y\right)$
Números distintos têm sucessores distintos.
$A_3)$ $\forall \alpha \left( \alpha(0) \wedge \forall x\left(\alpha(x) \rightarrow \alpha\left(s(x)\right) \right)\rightarrow \forall xa(x)\right)$
Esse é o princípio da indução matemática completa: se uma propriedade $\alpha$ é verdadeira para o zero e se a frase "se $\alpha$ é verdadeira para um número $x$, então $\alpha$ é verdadeira também para seu sucessor $s(x)$" está correta, então a propriedade $\alpha$ é verdadeira para todo número natural.
$A_4)$ $\forall x \forall y (x+0=x) \wedge x+s(y) = s(x+y)$
$A_5)$ $\forall x \forall y (x \times 0 = 0) \wedge x\times s(y) = x \times y + x$
Os axiomas $A_4)$ e $A_5)$ definem, por indução, a adição e a multiplicação.
Referências:
$[1]$ Gênios da Ciência nº12 - A Vanguarda da Matemática e os Limites da Razão
Veja mais:
Formulaire de Mathématiques - 1901 - Peano
Princípio da Indução Completa ou Raciocínio por Recorrência
Anotações Sobre Números Naturais e os Axiomas de Peano no blog Fatos Matemáticos