Definição $1$:
Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano onde a soma das distâncias a doois pontos fixos desse plano é constante.
Dá-se o nome de elipse ao conjunto dos pontos $P$ pertencentes ao plano, tais que:
\begin{equation}
d(P,F_1) + d(P,F_2)=2a
\end{equation}
Elementos da elipse:
Os elementos de uma elipse são:Foco: São os pontos $F_1$ e $F_2$;
Distância focal: É a distância $2c$ entre os pontos;
Centro: É o ponto médio $C$ do segmento $\overline{F_1F_2}$;
Eixo maior: É o segmento $\overline{A_1A_2}$ de comprimento $2a$ (o segmento $\overline{A_1A_2}$ contém os focos e os seus eixos extremos);
Eixo menor: É o segmento $\overline{B_1B_2}$ de comprimento $2b$ (o segmento $\overline{B_1B_2}$ é ortogonal ao segmento $\overline{A_1A_2}$ no ponto $C$;
Vértices: São os pontos $A_1$, $A_2$, $B_1$ e $B_2$;
Excentricidade: A excentricidade $e$ exprime o "achatamento" da elipse e é dada por:
\begin{equation*}
e=\frac{c}{a}
\end{equation*}
Em toda a elipse vale a relação pitagórica:
\begin{equation}
a^2=b^2+c^2
\end{equation}
Equação da elipse:
Seja $P(x,y)$ um ponto genérico de uma elipse, cujos focos são $F_1(-c,0)$ e $F_2(c,0)$. Temos que:\begin{equation}
d(P,F_1)=\sqrt{(c+c)^2+y^2}
\end{equation}
e
\begin{equation}
d(P,F_2)=\sqrt{(x-c)^2+y^2}
\end{equation}
Pela equação $(1)$, temos que:
\begin{equation*}
d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a
\end{equation*}
Substituindo $(3)$ e $(4)$ na relação acima, obtemos:
\begin{equation*}
\sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a\\
\sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2 + y^2}
\end{equation*}
Elevamos ambos os lados ao quadrado:
\begin{equation*}
(x+c)^2+y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2\\
x^2+2xc+c^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + x^2-2xc+c^2\\
4xc=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}
\end{equation*}
Dividimos ambos os lados por $4$:
\begin{equation*}
cx=a^2-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\
cx-a^2=-asqrt{(x-c)^2+y^2}\\
a^2-cx = a\sqrt{(x-c)^2+y^2}
\end{equation*}
Elevamos, novamente, ambos os lados ao quadrado:
\begin{equation*}
a^4-2a^2cx+c^2x^2=a^2\left[(x-c)^2+y^2\right]\\
a^4-2a^2cx+c^2x^2=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)\\
a^4-2a^2cx+c^2x^2=a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2\\
a^4+c^2x^2=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2\\
a^4+c^2x^2-a^2x^2=a^2c^2+a^2y^2\\
a^4+x^2(c^2-a^2)=a^2c^2+a^2y^2\\
x^2(c^2-a^2)-a^2y^2=a^2c^2-a^4
\end{equation*}
Multiplicando por $-1$:
\begin{equation*}
x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^4-a^2c^2\\
x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)
\end{equation*}
Dividindo ambos os lados por $a^2(a^2-c^2)$:
\begin{equation*}
\frac{x^2(a^2-c^2)}{a^2(a^2-c^2)} + \frac{a^2y^2}{a^2(a^2-c^2)} = \frac{a^2(a^2-c^2)}{a^2(a^2-c^2)}
\end{equation*}
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2}=1
\end{equation}
Da relação $(2)$, temos:
\begin{equation}
b^2=a^2-c^2
\end{equation}
Substituindo $(6)$ em $(5)$:
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{equation}
Que é a equação reduzida da elipse.
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