Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$.
Demonstração:
Primeiramente, vamos provar o limite:\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln(a), \quad \forall a>0
\end{equation}
Fazemos uma mudança de variável:
\begin{equation}
a^x-1=t
\end{equation}
sendo $a \neq1$.
Se $x$ tende a zero, então $t$ também tende a zero, pois:
\begin{equation}
a^0-1=t \Longrightarrow 1-1=t \Longrightarrow t=0
\end{equation}
Fazemos então:
\begin{equation}
a^x=1+t
\end{equation}
Assim, podemos escrever:
\begin{equation}
\ln(a^x)=\ln(1+t) \Longrightarrow x\ln(a) = \ln(1+t) \Longrightarrow x=\frac{\ln(1+t)}{\ln(a)}
\end{equation}
Tomando o limite inicial dado em (1), aplicamos a mudança da variável $x$ para $t$:
\begin{equation*}
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{\displaystyle \frac{\ln(1+t)}{\ln(a)}} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{t \cdot \ln(a)}{\ln(1+t)} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln(a)}{\displaystyle \frac{1}{t}\cdot \ln(1+t)} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln(a)}{\ln(1+t)^{1/t}}
\end{equation*}
Pelo limite fundamental exponencial, o limite tende a $e$:
\begin{equation}
\lim_{t\rightarrow 0} (1+t)^{1/t} = e
\end{equation}
Então, aplicando o limite, obtemos:
\begin{equation}
\frac{\ln(a)}{\ln(e)} = \frac{\ln(a)}{1} = \ln(a)
\end{equation}
Demonstrando assim, o limite inicial dado em $(1)$.
Agora, utilizando o conceito de derivada, temos que:
\begin{equation}
f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}
\end{equation}
Para uma função exponencial do tipo:
\begin{equation}
f(x) = a^x , \quad \forall x \in \mathbb{R},\ a>0\ \text{e}\ a \neq 1
\end{equation}
Fazemos as devidas substituições:
\begin{equation}
f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{(x+\Delta x)}-a^x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}
\end{equation}
Aplicando o limite dado em $(1)$, podemos reescrever $(10)$ como:
\begin{equation}
f'(x) = a^x \cdot \ln(a)
\end{equation}
Podemos dizer que se $f(x) = a^x$, então sua derivada será $f'(x) = a^x \cdot \ln(a)$. Mas, se fizermos $a = e$, obtemos:
\begin{equation}
f'(x) = e^x \cdot \ln(e) = e^x \cdot 1 = e^x
\end{equation}
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