Já apresentei num post anterior a caixa sem tampa de volume máximo. Vejamos agora, como podemos construir uma caixa com tampa de base retangular a partir de uma folha de base $A$ e altura $B$, de modo que seu volume seja máximo, recortando conveniente a folha de papel.
Essa é uma atividade interessante que pode ser feita usando uma folha de papel A4 e é uma das aplicações do Cálculo as embalagens,tais como a caixa de chocolate.
Na figura acima, temos a folha e a caixa construida. Matematicamente, temos que determinar $x$ de modo que volume $V(x) = abx$ seja máximo. Das expressões presentes na figura, segue que
$$a = \frac{A}{2} - x$$ e $$b = B - 2x$$
de modo que
$$V(x) = x\biggl(\frac{A}{2} - x\biggr)(B - 2x) = 2x^3 - (A+B)x^2 + \frac{ABx}{2}$$
Como o volume é positivo, então $0 \prec x \prec B/2$ ou $0 \prec x \prec A/2$ . Mas, $0 \prec B \prec A$ de modo que o domínio de $V(x)$ é dado por $0 \prec x \prec B/2$. Derivando essa função e igualando a zero, temos
$$12x^2 - 4(A+B)x + AB = 0$$
Usando a fórmula de Bháskara, segue que os possíveis candidatos para maximizar volume da caixa são
$$x^{\prime} = \frac{A+B - \sqrt{A^2 - AB + B^2}}{6}$$ e $$x^{\prime \prime} = \frac{A + B + \sqrt{A^2 -AB + B^2}}{6}$$
Note que $A^2 - AB + B^2 \succ A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2 \succ 0$ de modo que as duas raízes são reais e pela regra de Descartes, essas raízes são positivas. Por outro lado,
$$V^{\prime \prime}(x) = 12x - 2(A + B)$$
de modo que
$$V^{\prime \prime}(x^{\prime}) = -\sqrt{A^2 - AB + B^2} \prec 0$$ e $$V^{\prime \prime}(x^{\prime \prime}) = \sqrt{A^2 - AB + B^2} \succ 0$$
e pelo teste da derivada segunda, o único valor que irá maximizar o volume da caixa é $x^{\prime}$.
Observação: Se $A = B = a$, então é fácil ver que $x = a/6$ é o valor que irá maximizar o volume da caixa. Portanto, para construir essa caixa com uma folha de papel quadrada, basta fazer um quadriculado $6\times 6$ e recortar adequadamente $16$ quadrículas.