Neste post, apresentaremos a versão de Isaac Newton do teorema que é a essência do Cálculo Diferencial e Integral. A figura acima é uma montagem de uma página de seu livro escrito supostamente em $1669$ em que o teorema é provado.
Proposição $1$: (Teorema Fundamental do Cálculo)
Seja $AD \delta$ uma curva qualquer e suponhamos que a área $z$ da figura curvilínea $ABD$ é gerado pelo movimento contínuo e uniforme do segmento $BD = y$ da esquerda para direita. Se\begin{equation*}
z = \frac{na}{m+n}x^{(m+n)/n}
\end{equation*}
então a fluxão da área $z$ (taxa de variação instantânea) em relação a $x$ é igual a ordenada $y$, isto é
\begin{equation*}
\dot{z} = y = ax^{m/n}
\end{equation*}
Demonstração:
Baseado na figura acima, destacamos na imagem abaixo os principais elementos usados por Newton em sua prova.
Sejam
\begin{equation}
\frac{na}{m+n} = c \quad \text{e} \quad m + n = p
\end{equation}
Para obter este resultado, Newton observou a evolução da área em um tempo muito pequeno. Assim, ele considerou $o$ como sendo o momento ou acréscimo infinitesimal da abcissa $x$. Então a nova abcissa será $A\beta = x + o$ e a área aumentada será $A\delta \beta = z + ov$ (ou o que é equivalente a $z + oy$). Newton afirma que existe um ponto $K$ tal que a área do retângulo $B\beta HK$ é igual a área do retângulo curvilíneo $B\beta \delta D$. Note que
\begin{equation*}
z = \frac{n}{m+n}ax^{(m+n)/n} = cx^{p/n} \quad \Rightarrow \quad z^n = c^nx^p
\end{equation*}
Assim,
\begin{equation*}
(z + oy)^n = c^n(x + o)^p
\end{equation*}
Usando o binômio para expandir a expressão acima, Newton obteve
\begin{equation*}
z^n + noyz^{n-1}+\ldots = c^n(x^p + pox^{p-1}+\ldots)
\end{equation*}
O que leva a
\begin{equation}
z^n + noyz^{n-1}+\ldots = c^nx^p + c^npox^{p-1}+\ldots
\end{equation}
Dividindo a expressão $(2)$ por $o$ e abandonando os termos que ainda contém $o$, temos
\begin{equation*}
ny\frac{z^n}{z} = c^npx^{p-1} \\
ny\frac{c^nx^p}{cx^{p/n}} = c^npx^{p-1} \\
nyx^{p - p/n} = cpx^{p-1}\\
nyx^{-p/n} = cpx^{-1}\end{equation*}
Isolando $y$ e usando as expressões dadas em $(1)$, segue que
\begin{equation*}
y = \frac{cp}{n}x^{p/n - 1} = \frac{na}{m+n}\cdot \frac{m+n}{n}x^{(p - n)/n} = ax^{m/n}
\end{equation*}
Parece ser essa a primeira vez na história da matemática que uma área foi achada pelo inverso do que chamamos diferenciação, embora a possibilidade de usar tal processo evidentemente fosse conhecida por Barrow e Gregory, e talvez também por Torricelli e Fermat.
Reciprocamente, se a curva é $y = ax^{m/n}$, então a área será
\begin{equation*}
z = \frac{n}{m+n}ax^{(m+n)/n}
\end{equation*}
Em outras palavras, para Newton, a fluente de uma ordenada variável é a área gerada pela ordenada em seu movimento.
Exemplo $1$:
Ache a ordenada de uma curva sabendo que sua área ou fluente é dada por $z = x^3$.Resolução: Usando a mesma figura acima, tomamos $x = AB$, $x + o = A\beta$ e $z = ADB$. Assim,
\begin{equation*}
(x + o)^3 = x^3 + 3ox^2 + 3o^2x + o^3 = z + ov
\end{equation*}
Consequentemente,
\begin{equation*}
3ox^2 + 3o^2x + o^3 = ov \\
3x^2 + 3ox + o^2 = v
\end{equation*}
Fazendo $o = 0$, obtemos $3x^2 = v = y$.
Newton determina a área sob a curva $y=y(x)$ invertendo as operações de derivação. Deste modo, ele não adiciona mais superfícies infinitesimais como nos procedimentos anteriores, mas coloca a derivada como ponto central do seu desenvolvimento. Assim, para fazer a quadratura de uma área de ordenadas dadas por $y = y(x)$, basta achar a primitiva $Y$ de $y$, isto é, achar $Y$ tal que a fluxão de $Y$ seja $y$. Em notação moderna: achar $Y$ tal que $\displaystyle \frac{dY}{dx} = y$.
Exemplo $2$:
Ache a primitiva de $\displaystyle y = \frac{1}{(x + 1)}$, seguindo os passos de Newton.Resolução: Para achar a primitiva de $\displaystyle y = \frac{1}{(x + 1)}$ ele usava séries infinitas escrevendo
\begin{equation*}
Y = ax^m + bx^{m+1}+\ldots
\end{equation*}
de modo que
\begin{equation*}
\dot{Y} = amx^{m-1} + b(m+1)x^m + \ldots
\end{equation*}
Usando o seu binômio ou por divisão direta, ele obtinha
\begin{equation*}
y(x) = \frac{1}{x+1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \ldots
\end{equation*}
Sendo $\dot{Y} = y(x)$, comparando os termos de cada série, obtemos $a = 1$, $b = -1/2$, etc.
Segundo Boyer, Newton tornou-se o efetivo inventor do cálculo porque foi capaz de explorar a relação inversa entre inclinação e área através de sua nova análise infinita. Por isso, é que mais tarde ele viu com maus olhos toda tentativa de separar seu cálculo de sua análise por séries infinitas.
* Este artigo é uma republicação. O artigo original foi produzido pelo Prof. Paulo Sérgio Costa Lino e o link encontra-se nas referências.