Brahmagupta popularizou o conceito do zero, e definiu regras para a aritmética com números negativos e com o zero, que são próximas ao entendimento atual da matemática moderna. A maior divergência é que Brahmagupta tentou definir a divisão por zero, uma situação considerada inexistente na matemática moderna. Sua definição de zero como um número era acurada exceto que ele considerava $0/0$ igual a $0$, sendo que considera-se atualmente que essa quantidade não pode ser definida.
Neste post apresentarei uma fórmula devido a Brahmagupta, para calcular a área de um quadrilátero inscritível ou cíclico em função de seus lados. Ao contrário da engenhosa prova apresentada por Brahmagupta, usarei as ferramentas da Trigonometria, em particular a lei dos cossenos.
Teorema (Brahmagupta):
Se $ABCD$ é um quadrilátero cíclico, então sua área é dada por:\begin{equation*}
S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}
\end{equation*}
onde $a,b,c$ e $d$ são os lados e $p$ é o semi-perímetro do quadrilátero.
Demonstração:
Observando a figura acima, note que $\hat{B} + \hat{D} = 180^{\circ}$. Pela lei dos cossenos nos triângulos $ABC$ e $ACD$, temos:\begin{equation}
AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \hat{B}
\end{equation}
e
\begin{equation}
AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd\cos\hat{D} = c^2 + d^2 + 2cd\cos\hat{B}
\end{equation}
pois $\cos \hat{D} = \cos(180^{\circ} - \hat{B}) = \cos \hat{B}$.
Igualando as expressões $(1)$ e $(2)$, temos:
\begin{equation*}
a^2 + b^2 - 2ab\cos\hat{B} = c^2 + d^2 + 2cd\cos\hat{B} \quad \Rightarrow\\
a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = (2ab + 2cd)\cos \hat{B}
\end{equation*}
Isolando $\cos \hat{B}$ e elevando ao quadrado, segue que:
\begin{equation*}
\cos^2 \hat{B} = \frac{(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2}{4(ab + cd)^2} \quad \Rightarrow\\
\sin^2 \hat{B} = 1 - \cos^2\hat{B} = 1 - \frac{(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2}{4(ab + cd)^2}
\end{equation*}
Assim,
\begin{equation*}
\sin^2 \hat{B} = \frac{4(ab+cd)^2 - (a^2+b^2-c^2-d^2)}{4(ab+cd)^2}\\
= \frac{[(c+d)^2 - (a-b)^2][(a+b)^2-(c-d)^2]}{4(ab+cd)^2}\\
= \frac{(c+d+a-b)(c+d-a+b)(a+b+c-d)(a+b-c+d)}{4(ab+cd)^2}
\end{equation*}
Usando o fato que $2p = a + b + c + d$, podemos escrever a última expressão na forma:
\begin{equation}
\sin^2 \hat{B} = \frac{(2p - 2a)(2p - 2b)(2p - 2c)(2p - 2d)}{4(ab+cd)^2}
\end{equation}
Simplificando e extraindo a raiz quadrada de $(3)$, obtemos:
\begin{equation}
\frac{1}{2}(ab + cd)\sin \hat{B} = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-c)}
\end{equation}
Por outro lado, aplicando a lei das áreas nos triângulos $ABC$ e $ADC$, temos:
\begin{equation}
S= S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2}ab\sin\hat{B} + \frac{1}{2}cd\sin(180^{\circ}-\hat{B}) \quad \Rightarrow\\
S = \frac{1}{2}(ab + cd)\sin \hat{B}
\end{equation}
Comparando as expressões $(4)$ e $(5)$, segue o resultado.
Note que a fórmula de Brahmagupta é uma generalização da fórmula de Heron.
Referências:
[1]Veja mais:
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