Proposição $I-47$
Em um triângulo retângulo, o quadrado sobre o lado oposto ao ângulo reto é igual à soma dos quadrados sobre os lados que forma o ângulo reto.
O cerne da demonstração consiste em estabelecer a igualdade entre o retângulo $BDLM$ e o quadrado $ABFG$.
Vejam que o triângulo $ABD$ e $BCF$ são iguais, pois os dois triângulos têm dois lados iguais com ângulos iguais e estes são a metade do retângulo $BDLM$. Esta igualdade entre triângulos já havia sido previamente estabelecida na proposição $I-4$ de seus Elementos:
Proposição $I-4$
Se dois triângulo tem dois lados iguais a dois, respectivamente, e se o ângulo contido por estes dois lados forem iguais, então eles também têm suas bases iguais. Consequentemente os triângulos serão iguais e os ângulos restantes também serão.
Numa perspectiva moderna, a igualdade dos triângulos se dá pelo fato de que eles se deduzem um do outro por uma rotação de $90^\circ$. Mas de que modo Euclides justifica que o retângulo $BDLM$ seja o duplo do triângulo $ABD$?
Euclides utilizou-se de outra proposição já estabelecida num teorema mais geral, onde combina triângulos e paralelogramos:
Proposição $I-41$
Se um paralelogramo tem a mesma base que um triângulo e estes estão na mesma paralela, então o paralelogramo é o dobro do triângulo.
Unindo $AL$, então os triângulo $ABC$ e $EBC$ tem mesma área, cujas bases $BC$ são iguais e estão nas mesmas paralelas $BC$ e $AE$. Logo $BCE$ é a metade de $ABCD$.
Para a prova deste teorema, Euclides une a diagonal $AC$, construindo o triângulo $ABC$, que também tem $BC$ como base, e enuncia duas asserções:
$1)$ Os triângulos $ABC$ e $EBC$, por terem mesma base e estarem nas mesmas paralelas são iguais.
$2)$ O triângulo $ABC$ é a metade do paralelogramo $ABCD$, porque $AC$ é a diagonal e porque a diagonal de um paralelogramo o divide em duas partes iguais.
Esta afirmação advém de outra proposição:
Proposição $I-34$
Em áreas paralelogrâmicas os lados e os ângulos opostos são iguais entre si e a diagonal divide as áreas e, partes iguais.
Desta forma, temos que provar que a $I-41$ se aplica na $I-47$. Vamos tomar o quadrado $ABFG$ e o triângulo $BCF$. Por construção $ABFG$ é um quadrado, logo os segmentos $BF$ e $AG$ são paralelos, assim como no retângulo $BDLM$ os segmentos $BD$ e $LM$ também são.
Basta, então, mostrar que o vértice c está sobre o prolongamento de $GA$. Euclides observa:
“Uma vez que cada um dos ângulos sob $BAC$ e $BAG$ é reto, relativamente à reta $BA$, os dois segmentos $AC$ e $AG$, não posicionados do mesmo lado, formam ângulos adjacentes iguais a dois retos. Portanto, $CA$ também está alinhado a $AH$”.
Desta forma, concluímos que o quadrado $ABFG$ tem a mesma base do triângulo $BCF$ e estão na mesma paralela $GC$. Daqui vem que o quadrado $ABFG$ é o duplo do triângulo $BCF$. Mas os triângulos $BCF$ e $ABD$ são iguais, o que nos leva à igualdade entre o quadrado $ABFG$ e o retângulo $BDLM$.
De modo análogo provamos que o quadrado $ACKH$ é igual ao retângulo $CELM$.
Assim, a reunião dos retângulos $BDLM$ e $CELM$ constituem o grande quadrado $BDEC$ sobre a hipotenusa $BC$, e este haverá de ser igual aos dois quadrados $ABFG$ e $ACKH$.
Referências:
[1] Revista Scientific American – A Ciência na Antiguidade, Nº 3[2] Os Elementos - Euclides - Tradução de Irineu Bicudo - Ed. Unesp
[3] ttp://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html
Veja mais:
Os Elementos de EuclidesO teorema de Pitágoras baseado nas relações métricas da circunferência
Uma demonstração do teorema pitagórico segundo Euclides no blog TICs na Matemática
Provas do Teorema de Pitágoras no Blog Fatos Matemáticos Parte 1, 2, 3, 4, 5