Descartes desenvolveu um método para resolver equações quadráticas, não no sentido algébrico como os antigos babilônios faziam, mas no sentido geométrico. Seu método permitia resolver equações do tipo:
\begin{equation*}
x^2 \pm bx-c^2=0
\end{equation*}
Por exemplo, para resolver uma equação do tipo $x^2 \pm bx – c^2 = 0$, Descartes procedia assim:
$1)$ Trace um segmento $AB$ de comprimento igual a $c$;
$2)$ Por $B$, levante um segmento $BO$ igual a $b/2$ que seja perpendicular a $AB$;
$3)$ Com centro em $O$, descreva uma circunferência que passe por $B$ e trace a reta que passa por $A$ e $O$ que corta a circunferência em $C$ e $D$;
$4)$ Se:
$a)$ $b$ for positivo, então o segmento $AC = x$ é o segmento desejado;
$b)$ $b$ for negativo, então o segmento $AD = x$ é o segmento desejado.
No entanto, Descartes ignorava a raiz $AD$ da equação para o caso de $b$ ser positivo, pois dizia ser falsa, ou seja, negativa. Assim o segmento $AD$ fornece a segunda raiz da equação, onde o segmento $AD$ é o valor absoluto da raiz negativa, pois não faz sentido na geometria euclidiana um segmento de reta de comprimento negativo. O mesmo ocorria para o caso de $b$ ser negativo.
Vamos abordar algumas equações e aplicar seu método, utilizando o software Régua e Compasso (gratuito), que já nos fornece o comprimento dos segmentos automaticamente.
Exemplo $1$:
Encontre as raízes da equação $x^2-3x-4=0$, utilizando o método geométrico de Descartes.A equação pode ser reescrita como $x^2 -3x - (2)^2 = 0$. Em seguida, definimos os comprimentos dos segmentos:
$a)$ O segmento inicial $AB=c=2$
$b)$ O segmento $BO=b/2=1,5$
$1)$ Trace o segmento $AB=2$:
$2)$ Trace a perpendicular $BO=1,5$ por $B$:
$3)$ Descreva a circunferência de raio igual a $b/2=1,5$ com centro em $O$:
$4)$ Trace a reta que passa por $A$ e $O$, cortando a circunferência nos pontos $C$ e $D$:
$5)$ Os segmentos $AC$ e $AD$ são as duas raízes da equação dada, como pode ser observado nas imagens:
Desta forma, temos as duas raízes representadas como dois segmentos de reta. Notem que o segmento $AD$ fornece o valor absoluto da raiz negativa. Resolvendo pela fórmula da equação de segundo grau, encontramos as duas raízes:
\begin{equation*}
x_1 = AC = 4\\
\ \\
x_2 = AD = -1
\end{equation*}
Exemplo $2$:
Encontre as raízes da equação $x^2-x-4=0$, utilizando o método geométrico de Descartes.A equação pode ser reescrita como $x^2-x-(2)^2=0$. Agora, definimos os comprimentos dos segmentos:
$a)$ O segmento inicial $AB=c=2$
$b)$ O segmento $BO=b/2=0,5$
Resolvendo pela fórmula da equação do segundo grau, encontramos as duas raízes:
\begin{equation*}
x_1 = AC = 2,56155\\
\ \\
x_2 = AD = -1,56155
\end{equation*}
Exemplo $3$:
Encontre as raízes da equação $x^2-8x-9=0$, utilizando o método geométrico de Descartes.A equação pode ser reescrita como $x^2-8x-(3)^2=0$. Agora, definimos os comprimentos dos segmentos:
$a)$ O segmento inicial $AB=c=3$
$b)$ O segmento $BO-b/2=4$
Resolvendo pela fórmula da equação de segundo grau, encontramos as duas raízes:
\begin{equation*}
x_1 = AC = 9\\
\ \\
x_2=AD=-1
\end{equation*}
Exemplo $4$:
Encontre as raízes da equação $x^2+2x-1=0$, utilizando geométrico de Descartes.A equação pode ser reescrita como $x^2+2x-(1)^2=0$. Vejam que esta equação tem o $b$ positivo. Definimos os comprimentos dos segmentos:
$a)$ O segmento inicial $AB=c=1$
$b)$ O segmento $BO=b/2=1$
Resolvendo pela fórmula da equação de segundo grau, encontramos as raízes:
\begin{equation*}
x_1 = AC = -2,41421\\
\ \\
x_2 = AD = 0,41421
\end{equation*}
Referências:
[1] História da Matemática - Carl Boyer - Editora BlucherVeja mais:
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