O segmento esférico é a região interna de uma esfera delimitada por dois planos paralelos. A distância entre esses planos é a altura e os círculos resultantes da interseção dos planos com a esfera são as bases.
Se a altura é $h$ e $R_1$ e $R_2$ são os raios da base de um segmento esférico, então seu volume é dado por:
$$V = \frac{\pi h}{6}[3(R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) + h^2]$$
Para ver a prova deste fato, leiam o excelente post "O Volume de um Segmento Esférico" do blog O Baricentro da Mente. Neste post, usaremos coordenadas polares e técnicas simples de integração para calcular a área do segmento esférico e da calota esférica, obtida anulando o raio de uma das bases do segmento esférico.
Dada uma função $f$ contínua no intervalo $[a,b]$ e derivável no aberto $(a,b)$, a área do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelo gráfico de $f$ e pelas retas $x = a$ e $x = b$ em torno do eixo $x$é dada por:
$$S = 2\pi\int_{a}^{b}y\sqrt{1 + [f^{\prime}(x)]^2}dx \qquad (1)$$
A demonstração baseia-se nas figuras acima em que o arco de curva é dividido em vários segmentos. Em seguida, soma-se a área de cada tronco de cone formado por essas subdivisões. Aumentando o número de subdivisões e usando o teorema do valor médio e a definição de integral definida, obtemos a expressão acima.
O termo $\sqrt{1 + [f^{\prime}(x)]^2}$ é o elemento infinitesimal de comprimento de arco e será denotado por $dl$.
Proposição 1: O elemento infinitesimal de comprimento de arco de uma circunferência de raio de $a$ em coordenadas polares é
$$dl = ad\theta \qquad (2)$$
Demonstração: De fato, da figura acima, temos:
$$x = a\cos \theta \quad \Rightarrow \quad \frac{dx}{d\theta} = -a\sin \theta$$
e
$$y = a\sin \theta \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{d\theta} = a\cos \theta$$
de modo que
$$dl = \sqrt{1 + \biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)^2}dx = \sqrt{dx^2 + dy^2}$$
$$=\sqrt{\biggl(\frac{dx}{d\theta}\biggr)^2 + \biggl(\frac{dy}{d\theta} \biggr)}d\theta = \sqrt{(-a\sin \theta)^2 + (a\cos \theta)^2}d\theta$$
donde segue que $dl = ad\theta$.
Proposição 2: (Arquimedes) A área lateral de um segmento esférico de altura $h$ obtido de uma esfera de raio $a$ é igual a área de uma faixa lateral de largura $h$ de um cilindro de raio $a$.
Demonstração: Substituindo $(2)$ em $(1)$ e usando o fato que $y = a\sin \theta$, temos:
$$S = 2\pi \int_{\theta_1}^{\theta_2}a\sin \theta ad\theta = 2\pi a^2 \int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin \theta d\theta$$
$$=2\pi a^2 (-\cos \theta)|_{\theta_1}^{\theta_2} = 2\pi a (a\cos \theta_1 - a \cos \theta_2) \qquad (3)$$
Da figura abaixo, notamos que
$$h = x_1 - x_2 = a\cos \theta_1 - a\cos \theta_2 \qquad (4)$$
Substituindo $(4)$ em $(3)$, obtemos $S = 2\pi ah$.
No caso de uma calota esférica obtida de um segmento esférico fazendo $R_1 = 0$, temos:
$$S = 2\pi a^2\int_{0}^{\theta_2}\sin \theta d\theta = 2\pi a^2 \int_{0}^{\theta_2}\sin \theta d\theta$$
$$=2\pi a^2(-\cos \theta)|_{0}^{\theta_2} = -2\pi a(a - a\cos \theta_2)$$
$$= 2\pi a (a - x_2) = 2\pi a h$$
de modo que o teorema de Arquimedes continua válido.
